ТЕМА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот промежуток произвольным образом на n частей точками .

В каждом из полученных частичных промежутков , где , выберем произвольную точку . Вычислим значение функции и умножим его на разность , после этого составим сумму, которая называется интегральной суммой Римана для функции на отрезке .

Пусть , т.е. длина наибольшего частичного промежутка. Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения промежутка на части, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом функции на промежутке и обозначается символом .

Функция в этом случае называется интегрируемой в промежутке . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла.

Выясним геометрический смысл суммы Римана , когда функция непрерывна и неотрицательна в промежутке , . В этом случае произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма равна сумме площадей прямоугольников с основанием и высотами (рис. 1).

Рис.1

Таким образом, равна площади ступенчатой фигуры, а определенный интеграл равен пределу при , т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и и отрезком оси .

Пусть все рассматриваемые функции являются непрерывными, так что определенные интегралы от них существуют. Тогда справедливы следующие соотношения:

1.

2.

3.

4.

5.

6. Если .

Если функции непрерывна на отрезке и - какая-нибудь первообразная для на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница:

.

Правую часть формулы часто обозначают символом (знак двойной подстановки от до ).

Пример1. Вычислить определенный интеграл .

Решение. .

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция определена и непрерывна вместе со своей производной на отрезке , причем для любого и ,

Тогда:

Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.

Пример2. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Сделаем замену переменной .

Тогда . Пересчитаем пределы интегрирования: при , а при .

.

Заметим, что при вычислении определенного интеграла к старой переменной не возвращаются.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. Если функции и дифференцируемы на отрезке , то справедлива следующая формула .

Пример3. Вычислить .

Решение. Обозначим , .

Тогда , .

.

Геометрические приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком , осью и прямыми и (рис.2) вычисляется по следующей формуле:

Если часть кривой находится под осью (рис.3), то площадь заштрихованной фигуры равна:

.

Пусть фигура ограничена двумя кривыми ,

и , (рис.

Рис.2

Рис. 3

Рис. 4

Пример4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Решение. Построим графики прямой и параболы

(рис. 5).

Рис. 5.

Найдем точки пересечения параболы и прямой:

.

Тогда получим:

. Объем тела вращения

Пусть функция непрерывна на отрезке . В этом случае объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми , и осью , вычисляется по формуле:

.

Если тело получено вращением кривой вокруг оси , то объем этого тела вычисляется по формуле:

.

Пример5. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси .

Решение. На рис.6 показана фигура, образующая тело вращения.

Рис. 6

.