ТЕМА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех значений из этого промежутка выполняется равенство .

Например, функция является первообразной для функции , так как при любом .

Можно заметить, что первообразной для является не только, но и функция + С, где С ─ любая постоянная. Это справедливо для любой функции , имеющей первообразную.

Теорема. Пусть является первообразной для функции в некотором интервале ; тогда функция , где С ─ любая постоянная, также будет первообразной для .

Из теоремы следует, что любые две первообразные для одной и той же функции могут отличаться друг от друга только на постоянное слагаемое.

Если ─ первообразная для функции , то совокупность всех первообразных , где С ─ произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Функция называется подынтегральной функцией, произведение ─ подынтегральным выражением, переменная - переменной интегрирования, а символ - знаком интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием функции . Операция интегрирования является обратной к операции дифференцирования. Свойства неопределенного интеграла

1.

2.

3.

4. , ,

5. Если первообразная для , тогда

, Таблица основных неопределенных интегралов

1. ;

2.

3.

4.

5.

6.

7. ,

8. class="lazyload" data-src="/files/uch_group38/uch_pgroup166/uch_uch594/image/516.gif">

9. ,

10. ,

11.

12.

13.

14.

Интегралы от некоторых элементарных функций не являются элементарными функциями, например:

Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование

Непосредственным интегрированием называется вычисление интегралов путем использования таблицы основных неопределенных интегралов, их свойств, а также тождественных преобразований подынтегрального выражения.

Пример1. Найти .

Решение.

Пример2. Найти .

Решение. Воспользуемся свойством 5:

=.

Пример2. Найти. .

Решение Воспользуемся формулами тригонометрии:

=.

Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

Все формулы таблицы основных интегралов справедливы, когда переменная интегрирования не является независимой, а представляет функцию от некоторой другой переменной: .

Тогда или .

Пример4. Вычислить интеграл .

Решение. Так как ,

то =.

Здесь мы применили формулу 1 таблицы интегралов.

Пример5. Вычислить интеграл .

Решение. Заметим, что , тогда имеем:

=. Замена переменой в неопределенном интеграле

Замена переменной или метод подстановки, состоит в том что, при вычислении интеграла вместо переменной вводится новая переменная , связанная с определенной зависимостью: . При этом функцию следует выбирать так, чтобы подынтегральная функция становилась более удобной для интегрирования.

Введем новую переменную , где функция определена и дифференцируема. Тогда будет справедлива формула

=.

Пример6. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку , а затем продифференцируем это равенство: .

==.

Пример7. Вычислить интеграл .

Решение. Применяем подстановку , тогда .

=.

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Теорема. Если функции и дифференцируемы на интервале , то .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым.

Метод интегрирования по частям применяется при вычислении следующих интегралов:

А) , , , где - многочлен степени n. В этих интегралах за принимается и интегрируется по частям n раз.

В), , , , .

В этих интегралах за принимается .

Пример8. Вычислить .

Решение. Положим , тогда ,

и по формуле интегрирования по частям получаем:

=.

Пример9. Вычислить .

Решение. Положим .

Отсюда . Используя формулу интегрирования по частям, имеем:

=.

Пример10. Вычислить .

Решение. Примем , тогда

. Окончательно получаем:

=.

Пример11. Вычислить .

Решение. Сделаем предварительные преобразования:

, отсюда

=. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется функция, равная отношению двух многочленов:

,

где, m, n – целые положительные числа, - действительные числа ().

Если , то называется правильной рациональной дробью, если - неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления на можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.

,

где , - многочлены; - правильная рациональная дробь

Интегрирование правильной рациональной дроби основано на следующей теории.

Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех видов:

где, A, a, M, N, p, q – действительные числа, k – натуральное число .

В алгебре устанавливается, что если знаменатель дроби представить в виде:

,

то в разложении самой дроби:

а) каждому множителю вида соответствует одна простейшая дробь вида ;

б) каждому множителю вида соответствует сумма простейших дробей вида: ;

в) каждому множителю соответствует одна простейшая дробь вида .

Пример12. Найти интеграл .

Решение. Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей:

.

Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

Так как данное тождество должно выполняться для любого , то зададим аргументу значение и получим .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в тождестве, находим:

При :

При :

При :

При :

Подставив значение , находим: , , .

Поэтому:

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интеграл типа , где R обозначает рациональную функцию своих аргументов и . Интеграл данного типа сводится к интегралу от рациональной функции с помощью так называемой универсальной постановки .

Действительно, и =.

Тогда, подставляя в данный интеграл вместо , и полученные выражения, будем иметь под знаком интеграла рациональную функцию.

Пример13. Вычислить интеграл .

Решение. Подстановка дает:

==.

Универсальная подстановка нередко приводит к сложным вычислениям. Поэтому в указанных ниже случаях предпочтительней частные подстановки, также рационализирующие интеграл.

если , то применима подстановка ;

если , то применима подстановка ;

если , то применима подстановка .

Пример14. Вычислить интеграл .

Решение. Положим и найдем:

поэтому:

===.

Рассмотрим интеграл вида , где m и n-целые числа. Возможны следующие случаи:

1. Одно из чисел m или n – нечетное, например, тогда полагая , получим:

==

2. Оба числа m и n – четные. Тогда рекомендуется воспользоваться тригонометрическими формулами понижения степени:

.

Пример15. Вычислить интеграл .

Решение. ==. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим интеграл следующего вида: ,

где R - рациональная функция, - рациональные числа. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где k - общий знаменатель всех дробных показателей.

Пример16. Вычислить интеграл .

Решение. Положив , получим: ===.