2. Гиперболическая геометрия Лобачевского
Пусть 
– множество векторов мнимой длины векторного
пространства 
.
Определение 1. Множество
называется 2-мерным гиперболическим
пространством Лобачевского (плоскостью Лобачевского 
),
Если задано отображение 
,
удовлетворяющее следующим аксиомам 
:
1) 
– сюръекция ;
2) 
коллинеарны.
В 
выберем точку 
. Тогда можно отождествить с ,
поставив в соответствие каждой точке 
ее радиус-вектор
..
Рассмотрим сферу 
мнимого радиуса 
С точки зрения аффинного пространства 
, с помощью которого
определено псевдоевклидово , поверхность является
двуполостным гиперболоидом, для которого асимптотическим конусом
является изотропный конус 
пространства . Обозначим
через 
– одну из полостей гиперболоида (полусфера,
).
Если 
– вектор мнимой длины, то прямая 
Пересечет в точке 
. Таким образом, определено отображение
, которое удовлетворяет аксиомам .
Сферическое расстояние 
между двумя точками 
определяется формулой
(**)
где 
– гиперболический косинус, 
– радиус-векторы
точек 
.