КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

– евклидово пространство, – декартовы координаты точек , – радиус – вектор ,

, .

Обратимые непрерывно, дифференцируемые функции

называются криволинейными координатами .

,

координатные поверхности:

( – фикс.);

координатные линии:

Локальный базис

образован касательными векторами к координатным линиям .

Пример 1. Цилиндрическая система координат .

,

,

.

Координатные поверхности: – круговые цилиндры,

– полуплоскости, ограниченные осью ,

– плоскости, параллельные плоскости .

Координатные линии: – линии – лучи, выходящие из произвольной точки оси и параллельные плоскости ; – линии – окружности с центром на , расположенные в плоскостях параллельных плоскости , – линии – прямые, параллельные оси .

2. Локальный базис.

.

Преобразование векторов локального базиса

,

где – формулы преобразования криволинейных координат,

.

– векторное пространство всех векторов, приложенных в точке (касательных векторов всех кривых, проходящих через точку ), то есть элементом является пара , где – вектор .

.

Взяв за , можно построить всю тензорную алгебру, где

.

Закон преобразования координат: