КРИТЕРИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА.

Пусть и - линейные нормированные пространства.

21.1. Оператор называется ограниченным, если существует константа такая, что для любого имеет место неравенство: .

21.2. Теорема. Для того, чтобы аддитивный оператор был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

Доказательство:

Необходимость: пусть линейный непрерывный оператор и пусть он не ограничен, т. е. существует такая, что при любом . (*)

Рассмотрим последовательность . Очевидно, что при .

Действительно:

- 50 -

С другой стороны: из (*).

Следовательно, при . То есть, нарушено условие непрерывности в нулевой точке.

Достаточность: пусть оператор ограничен.

при , что говорит о непрерывности оператора в любой точке . ч.т.д.